Развитие творческих способностей на  уроках математики

СОДЕРЖАНИЕ
  
 Введение 
Раздел 1.Теоретические основы творчества.                                                    3
1.1. Творчество ,его виды и характеристики.                                                      3
1.2. Роль уроков математики в развитии творческих способностей            10
        учеников.
Раздел 2. Практические основы развития творческих способностей
                   учеников.                                                                                                  14
2.1. Анализ практики педагогов по развитию творческих способностей
        учащихся.                                                                                                             14 
2.2. Из опыта работы учителей по развитию творческих способностей 
        на  уроках математики.                                                                                    23
Список литературы

                                                             Введение
        Для современной школы исключительно важной является проблема развития творческих способностей учащихся. Этой проблемой занимались ряд отечественных и зарубежных ученых, практических психологов и педагогов .
       В настоящее время всем очевидна необходимость подготовки учащихся к творческой деятельности . В связи с  этим повышается роль школы в воспитании активных, инициативных , творчески мыслящих людей.
        Развитие творческих возможностей учеников важно на всех этапах школьного обучения .Согласно мысли Л.С.Выготского , обучение в школе выдвигает  творчество в центр сознательной деятельности ребенка. 
        Исследованием этого вопроса занимались многие педагоги и психологи, такие как Ж. Пиаже, А. Н. Леонтьев, П. Я. Гальперин, Л. В. Занков, В.В. Давыдов, Р.С. Немов , Э. И. Рогов. Они углубили теорию развития творческих способностей и научно обосновали процесс  решения творческих задач, охарактеризовали условия ,способствующие и препятствующие нахождению правильного решения.
       Опираясь на различные теории, попытались осмыслить и показать роль уроков математики в развитии творческих способностей учеников.
Цель данной  работы: рассмотреть теоретический аспект творчества и практическое применение его в работе учителей математики.
              Задачи работы:
-рассмотреть теоретическую сторону вопроса;
-рассмотреть опыт работы учителей математики, освещенный в современных публикациях.

Теория данного вопроса представлена во многих источниках. Наиболее доступно и интересно, по-моему, это сделано в работах Давыдова "Проблемы развивающего мышления. Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования" и сборнике "Развитие творческой активности школьников" под редакцией А.Н.Матюшкина. Интересно свой опыт  работы по данной теме представил учитель-методист А.А.Окунев в книге «Спасибо за урок, дети!; О развитии творческих способностей учащихся». Предложенные им задания, сопровождаемые изложением интересных способов их решения, исключают  шаблонный подход , заучивание готовых схем. Они рассчитаны на пробуждение творческой активности учащихся и носят поисковый характер. В книге раскрывается «технология» общения учителя с классом, демонстрируются различные варианты организационной деятельности учителя. 

                             Раздел 1. Теоретические основы творчества.
1.1.	Творчеств , его виды и характеристики.
Творчество-психологический процесс познания, связанный с открытием субъективно нового знания, с расширением задач, с творческим преобразованием действительности, подразумевающий отражение
 существенных закономерностей и свойств реальности, процесс  постановки и решения новых проблем.
   Творчество является высшим  познавательным процессом . Оно представляет собой порождение нового знания, активную форму отражения и преобразования человеком действительности. Творчество порождает такой результат,  какого ни в самой действительности, ни у субъекта на данный момент времени не существует.
    Отличие  творчества от других психологических процессов состоит  так же в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую надо решить, и активным изменением условий, в которых эта задача дана.
   Творчество- это движение идей, раскрывающее суть вещей. Его итогом является не образ, а некоторая мысль ,идея. Специфическим результатом творчества может выступать понятие- обобщенное отражение класса предметов в их наиболее общих и существенных особенностях.
В процессе мыслительной деятельности человек узнает окружающий мир с помощью особых умственных операций . Основными мыслительными операциями являются анализ , синтез , сравнение , абстракция , конкретизация и обобщение .Все эти операции не могут проявляться изолированно , вне связи друг с другом. На их основе возникают более сложные операции, такие как классификация, систематизация и пр. Каждая из мыслительных операций может быть рассмотрена как соответствующее умственное действие. При этом подчеркивается активный, действенный характер человеческого творчества, возможность творческого преобразования действительности. Творчество человека не только включает в себя различные операции, но и протекает на различных  уровнях, в различных формах,что в совокупности позволяет говорить о существовании различных видов творчества.

                                                        Виды творчества
    Теоретичное                                                                Практичное 
Понятийное     Образное                 Наглядно- образное     Наглядно- действенное  

Теоретическое понятийное творчество это такое творчество ,пользуясь которым человек в процессе решения задачи обращается к понятиям , выполняет действие в уме, непосредственно не имея дела с опытом ,получаемым при помощи органов чувства . Он обсуждает и пишет решение задачи с начала и до конца в уме ,пользуясь готовыми знаниями , полученными другими людьми , выраженными в понятийной форме , суждениях, умозаключениях .
Теоретическое понятийное творчество характерно для научных теоретических исследований.
      Теоретическое образное творчество отличается от понятийного тем , что материалом, который здесь использует человек для решения задачи, является не понятийные суждения или умозаключения , а образы .В ходе решения мыслительных задач соответствующие образы мысленного процесса преобразуются так, чтобы человек в результате  манипулирования ими смог непосредственно усмотреть решение интересующей его задачи . Таким творчеством пользуются работники литературы ,искусства, вообще люди творческого труда ,имеющие дело с образами.
Отличительная особенность следующего вида творчества –наглядно- образного – состоит в том , что творческий процесс в нем непосредственно  связан с восприятием мыслящим  человеком окружающей действительности ,и без него совершаться не может .
Данная форма творчества наиболее полно и развернуто представлена у детей дошкольного и младшего возраста , а у взрослых –среди людей , занятых практической работой .Этот вид  творчества достаточно развит у тех людей, кому часто приходится принимать решения о предметах своей деятельности ,только наблюдая за ними ,но непосредственно их не касаясь .
Последний из обозначенных на схеме видов творчества- наглядно- действенное .Его особенность заключается в том ,что сам процесс творчества представляет  собой практическую преобразовательную деятельность , осуществляемую человеком с реальными предметами. Основным условием решения задачи в данном случае является правильные действия с соответствующими предметами. Этот вид творчества широко представлен у людей, занятых реальным производственным трудом, результатом которого является создание какого - либо конкретного материального продукта.
Заметим ,что перечисленные виды творчества выступают одновременно и как уровни его развития . Теоретическое творчество считается более совершенным , чем практическое ,а понятийное  представляет собой более высокий уровень ,чем образное.
Разница между теоретическими и практическими видами творчества,по  мнению Б.М.Теклова, состоит лишь в том ,что «они по разному связаны с практикой .Работа практического творчества в основном направлена на решение частных конкретных задач, тогда как работа теоретического творчества направлена в основном на нахождение общих закономерностей».
Следует отметить ,что все виды творчества взаимосвязаны между собой .Приступая к какому либо практическому действию , мы уже имеем в сознании тот образ, которого еще предстоит достигнуть. Отдельные виды творчества постоянно переходят друг в друга .Так, практически не возможно разделить наглядно-образное и словесно- логическое творчество, когда содержанием  задачи является схемы и графики. Практически действенное творчество может быть одновременно и интуитивным и творческим .Поэтому ,пытаясь определить вид творчества , следует помнить , что этот процесс всегда относительный и условный . Обычно у человека задействованы все компоненты и следует говорить лишь об относительном преобладании того или иного вида творчества. Только развитие всех видов творчества в их единстве может обеспечить  правильное и достаточно полное отражение действительности человеком 
Психологами было затрачено много времени и усилий на выяснение того ,как человек решает новые, необычные ,творческие задачи. Однако до сих пор чёткого ответа на вопрос о психологической природе творчества нет . Наука  располагает лишь некоторыми данными ,чтобы  описать решения человеком такого рода задач ,охарактеризовать условия, способствующие и препятствующие нахождению правильного решения . 
Дж. Гилфорд  считал ,что творчество связала с доминированием в нем четырех особенностей :
1.Оригинальность , нетривиальность ,необычность  высказываемых идей ,ярко выраженное стремление к интеллектуальной  новизне .Творческий человек всегда и везде стремится найти свое, отличное  от других решение .
2. Семантическая гибкость ,то есть способность видеть объект  под  новым углом зрения ,   обнаружить его новое использование , расширить функциональное применение на практике.
3.Образная  адаптивная гибкость, то есть  умение увидеть предмет таким образом , чтобы видеть его новые скрытые от наблюдения стороны .
4. Семантическая  гибкость ,то есть способность продуцировать разнообразные  идеи в неопределенной ситуации ,в частности ,в такой ,которая не содержит ориентиров для этих людей.
   Что же мешает человеку быть творческой личностью ? Психологи считают что, серьезными препятствиями  на пути к творческому мышлению могут не только недостаточно развитые способности , но и :
1.Склонность к конформизму ,выражающаяся в доминирующем над творчеством стремлении быть похожим на других людей , не отличаться от  них в своих суждениях и поступках .
2.Боязнь оказаться «белой вороной » среди людей , показаться глупым или смешным .
Обе указанные тенденции могут возникнуть у ребенка в раннем  детстве , если первые его попытки самостоятельного  творчества ,  первые суждения творческого характера не находят у взрослых надлежащей поддержки, вызывают у них смех ,или осуждение ,сопровождаемые навязыванием или привязыванием  ребенку со стороны взрослого в качестве единственного «правильных» наиболее распространённых общественных мнений 
3.Боязнь показаться слишком экстравагантным , даже агрессивным в своём неприятии и критике мнений других людей.
4 Боязнь  возмездия со стороны другого человека, чья позиция критикуется. 
5 Завышенная оценка своих собственных идей .
6 Высокоразвитая тревожность.
7 Чрезмерно выраженная тенденция критического творчества .
Психология творчества начала складываться на рубеже 19-20 вв. «В общепринятом смысле творчество –условный термин для психологического акта , выражающегося в воплощении , воспроизведении или комбинации данных нашего сознания в (относительно) новой форме , в области отвлеченной мысли , художественной и практической деятельности» .
До середины 20 века психология связывала творческие способности с умственным развитием. Потребность определять умственные способности привела к созданию IQ-tests- тестов на умственную одаренность .Однако исследования многих психологов показали отсутствие прямой зависимости творческих способностей от интеллекта и суммы знаний ,т. е. корреляция между коэффициентом интеллекта и способностью создавать новое ,креативностью –не было .
Кроме того ,было доказано, что творчество в искусстве и науке имеют общие признаки ,что позволят перенести творческие способности с одного материала на другой .
Главной  операцией , которая «работает» в ходе творческого процесса ,является операция сравнения . Устанавливается смысловые связи между элементами на основе репродукции смыслового синтеза или случайного соединения без установления семантических связей.Таким образом продукты, идеи ,гипотезы можно разделить на  стереотипы, оригинальные, креативные и неосмысленные,девиантные. Один из первых исследователей творчества как психологичного процесса П.Энгельмейер (1910) разделил его на три части :
•	акт выдвижения гипотезы ;
•	акт творчества ;
•	акт логически проработанной идеи.
Последующие многочисленные исследования были направлены на детализацию отдельных «актов» , при этом , естественно ,происходило их дробление. Так, Г.Уоллес в 1924 г получил четырехфазный процесс :
•	фаза подготовки идеи ;
•	фаза созревания идеи ;
•	фаза озарения ;
•	фаза проверки идеи .
Творчество человека развивается , его интеллектуальные способности и возможности совершенствуются .К такому выводу уже давно пришли ученые в процессе наблюдения и применения на практике приемов развития творческих способностей .
Творчество , по описанию Селье , происходит следующим образом :
•	Посредством наблюдения собираются   факты, накапливаются в памяти;
•	Факты располагаются в порядке ,который диктуется рациональным творчеством .
Иногда этого достаточно для достижения приемлемого решения.
Если нет ,то сознание должно отойти в сторону и дать свободу фантазии.При этом раскрепощенное воображение порождает бесчисленные  более или менее случайные ассоциации, которые затем переходят в сознание .
Из этого следует , что  воображение это необходимый элемент творческой деятельности .
Еще один непременный компонент творчества- это оригинальность ,выражающаяся в сильной нестандартности, неожиданности предлагаемого решения  среди других решений

 § 1.2 Роль уроков математики в развитии творческих способностей.   
      В настоящее время всем очевидна необходимость подготовки учащихся к    развитию творческих
  возможностей учащихся  на всех этапах школьного образования. 
   Свойство детского ума воспринимать все конкретно, буквально , неумение подняться над ситуацией и  понять её общий абстрактный или переносный смысл – одна из основных трудностей детского творчества, ярко проявляющаяся при изучении абстрактной школьной дисциплины -математика . Поэтому  необходима непрерывная работа , направленная на развитие внимания, наблюдательности , памяти, на умении проводить анализ сравнения находить закономерности.
                 Современное содержание математического образования направлено главным образом на интеллектуальное   развитие школьников, формирование культуры и самостоятельности творчества. Данный аспект является главным в развитии ученика, так как влияет на воспитанность человека.
 Достаточная                                                                                                                                                                                                                       подготовленность к мыслительной деятельности снимает психические нагрузки в учении, предупреждает неуспеваемость, сохраняет здоровье
Трудность обобщения материала - одна из основных трудностей , возникающая при усвоении   математики . Учеников  надо тренировать  на специально подобранном материале,  включающем все возможности и комбинации   существенных признаков .
      Развивает творческие способности и решение задач разными способами.  Выработка привычки к поиску другого варианта  решения играет большую роль в будущей работе, научной и творческой деятельности.  Применение различных способов решения задачи развивает умственные способности  учеников и, что немаловажно , приучает их  к исследовательской работе . Именно умение и способность находить различные пути и способы решения задачи часто приносит успех , удовлетворяет как частные, так и глобальные интересы.
    Анализ школьных  программ по математике дает  возможность  расставить  основные вехи развития творчества учащихся , поскольку овладение таким максимально абстрактным  предметом, , как математика , хорошо показывает, до какого максимума поднимается творчество школьников различных возрастов.
       Арифметика и алгебра абстрагированы  от всех качественных различий  предметов до такой степени, что остается от них только то, что они предметы  , т.е остается  только раздельность их , только число , а затем  абстрагирование  даже  от частных    значений чисел – таковы два основных этапа.
      Величина , количество и эмпирическое число, мера и количественное отношения, абстрактное общее число, числовой закон ,  абстрактный закон количественных  отношений, вот чем последовательно овладевает творчество школьника, возвышающее до умения так абстрагироваться о т конкретного мира, что в мысли остаются от этого  мира только   число и форма.
    Результаты обучения проявляются в осознании и управлении собственной мыслительной  деятельности и в освоении методов системного творчества .
                   Обобщенные приемы умственной  деятельности делятся две большие группы приемы алгоритмического  типа и эвристические.
             Вооружение учащихся правильными , рациональными приемами мышления, обучения тому, как определять понятия , классифицировать их, строить умозаключения, решать в соответствии  с данным алгоритмом задачи сказывает положительное  влияние и на самостоятельное , продуктивное мышление, обеспечивает возможность решения задач. Эвристические  приемы  непосредственно  стимулируют поиск  решения новых проблем, открытие новых для субъекта знаний  и тем самым  соответствует самой природе творческого мышления. В отличие от приемов  алгоритмического типа , эвристические  ориентируют  не на формально-логические , а на содержательный анализ проблем. Они направляют  мысль решающих на проникновение  в суть описываемого  в условии предметного содержания на то,  чтобы за каждым словом они видели его реальное содержание и по нему судили  о роли в решении того или иного данного. Многие эвристические приемы стимулируют включение в процесс решения проблем наглядно-образного мышления, что позволяет использовать его преимущество  перед словесно-логическим мышлением – возможность целостного восприятия , видения всей описываемой в условии ситуации. Тем самым облегчается течение характерных для продуктивного мышления интуитивных процессов. Опыт показывает , что эти приемы при решении используют наиболее  развитые школьники . Следовательно одним из принципов развития творческого мышления должно быть специальное формирование как алгоритмических так и эвристических приемов умственной деятельности.
       Продуктивное мышление предполагает   выход за пределы имеющихся знаний . Однако именно эти знания – опора в открытии нового. Чтобы открывать новое, отвергать уже известное , необходимо владеть этим  старым, иметь достаточно большой объем знаний.
     Развитие творческих способностей у учащихся в процессе изучения ими математики является одной из актуальных задач , стоящих перед учителем в современной школе. Основным средством  такого  воспитания и развития математических способностей учащихся являются задачи . Не случайно  известный современный математик  Д. Пойа пишет : «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи , причем  не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла , оригинальности, изобретательности. »
     Функции задач очень разнообразны : обучающие, развивающие, воспитывающие, контролирующие. Каждая  предлагаемая для решения учащимся задача может служить  многим конкретным целям обучения. И все же главная цель задач – развивать творческое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию » математических фактов. В результате  многократных изменяющихся и усложняющихся  упражнений ум ребенка становится острее, а сам он – находчивее и сообразительнее. У детей меняется подход  к решению задач, он становится более гибким, особенно развивается навык по решению задач, имеющих несколько вариантов решения. Рассуждения учащихся становится более  последовательными, доказательными, логичными, а речь – четкой , убедительной,  аргументированной. Повышается интерес к предмету, формируется неординарность мышления, умение анализировать,  сравнивать , обобщать, применять знания в нестандартных ситуациях.
  Ведь в творческом  поиске легких побед не бывает, поэтому развивается упорство в достижении  поставленных целей и , что очень ценно, развивается навык самоконтроля и самооценки.
     Как мы видим , в творческий процесс   вовлекаются логическиеи образные компоненты, эмоционально-чувственная сфера.
    Торренс выделяет следующие принципы которыми должен руководствоваться учитель, что бы поощрять творчество :
    - внимательное отношение к необычным вопросам;
   -  уважительное отношение к необычным целям;
   - показывать детям, что их идеи имеют ценность;
  - предоставлять удобные случаи для самостоятельного обучения и хвалить за это;
   - предоставлять время для неоцениваемой практики или обучения.
        Последний принцип требует пояснения. Внешняя оценка всегда создает угрозу и, возможно , потребность в обороне . Поэтому детям необходим какой-то промежуток времени, в течении которого они не оцениваются. Таким образом  не сдерживается свобода формирования идей.

Раздел 2.  Практические основы развития творческих способностей учеников.
2.1 Анализ практики педагогов  по развитию творческих способностей учащихся.
            Развитие творческих способностей  учеников всегда являлось одной из важнейших задач школы. Этим вопросом  занимались и продолжают заниматься не только ученые, но и практически работающие учителя.  Результаты  работы освещаются  в  педагогической  литературе,  профессиональных   журналах. Там,  в г. Каменец-Подольский  в издательстве «Абетка» в 2004 году вышла книга  А.Г. Гайштут  «Тренинг интеллекта школьника : учись мыслить , думать, рассуждать.» Задания  этой книги ориентированы на развитие мышления и творческих способностей  ребенка. Книга содержит нетрадиционные упражнения, формирующие  навыки  перенесения знаний с одной области знаний в другую.
          Особое место в системе упражнений  по  развитию творческих способностей учеников занимают логические задачи. Они развивают у ребят основные интеллектуальные способности – анализировать, комбинировать, рассуждать, искать и находить необычные способы решения, использовать аналогии.
Упражнение 1
  Найдите неизвестное число
   КОНВЕРТ                 КОРТ                      345
   ТРАПЕЦИЯ              РАЦИЯ                   145
   КРАТЕР                     КАТЕР                     ?
Решение.
   Слово   КОРТ получено из слова КОНВЕРТ  исключением третьей, четвертой и пятой букв.  В первой строчке задания записано число 345.
   Проверим справедливость нашего  предположения, используя вторую строчку задания. Слово РАЦИЯ получено из слова  ТРАПЕЦИЯ  исключением перовой, четвертой и пятой букв. Во второй строке записано число 145. Аналогично, слово КАТЕР получили из слова КРАТЕР исключением второй буквы. Следовательно, число 2 и будет решением данного задания. 
Ответ.  2
Упражнение 2. Найдите неизвестное число
   БЕЛЬЁ 
   5329                ?
Решение
Рисунок  изображает ель. Слово ЕЛЬ получится из слова БЕЛЬЁ исключением крайних букв. Аналогично,  исключая из цифр числа 5329 крайние, получим новое число – 32.
Ответ. 32

Упражнение 3. Найдите неизвестное число.
              КРОВАТЬ                      ТОВАР
              СТРОКА                        КОРТ
               72618                              ?
Решение. 
     Если в  слове КРОВАТЬ  исключить крайние буквы и полученное крайние поменять  местами, то получим слово ТОВАР . (КРОВАТЬ).Вторая строчка подтверждает  гипотезу (СТРОКА)
Выполнив аналогичную  операцию в третьей строке, получим число 162 (72618) 
Ответ. 162
Как видим, эти упражнения не имеют строгих возрастных ограничений категории учащихся , которым их можно предлагать для решения. Их можно включить в упражнения для устного счета во 2м классе, в 6 классе, на занятия кружка, где учатся выполнять поисково-творческие задания, они могут  заинтересовать людей любого возраста.
      Трудно  переоценить  роль нестандартных  задач  в развитии творческих способностей учеников, особенно младшего  школьного возраста.
Задача 1. Лев может съесть  овцу за 2 часа, волк – за 3 часа, а собака- за 6 часов. За сколько они           вместе съели бы овцу?
Рассуждения.
   лев – за 2 часа – 1 овцу
   лев – за 6 часов – 3 овцы  
   волк – за  3 часа- 1 овцу
   волк – за 6 часов- 2 овцы
   собака- за 6 часов – 1 овцу.
Все вместе – за 6 часов – 6 овец
Все вместе – за 1 час – 1 овцу
Ответ.  за  1 час.
Задача 2. Мужчина, женщина и двое детей должны  переправиться на противоположный  берег реки с помощью лодки. Мужчина и женщина имеют  массу по 90 кг, а дети по 50 кг. Как им быть, если лодка вмещает до 100 кг и каждый из них может управлять лодкой?
Рассуждения.
   Сначала переправляются двое детей. Один из них возвращается, после этого переправляется отец. Второй ребенок возвращает лодку. Снова переправляются  двое детей   и один из них возвращает лодку. Переправляется мать, а ребенок опять возвращает лодку. Двое детей снова переправляются вместе на другой берег.
Задача 3. Дуб имеет высоту 20 м. За день улитка поднимается по нему на 5 м вверх, а за ночь спускается на 4 м вниз. За сколько дней  улитка доползет до вершины дуба?
Рассуждения.
  За каждый из первых пятнадцати дней улитка будет подниматься на один метр. Значит,  за 15 дней она поднялась вверх на 15 м. А за шестнадцатый день улитка  поднимется еще на 5 м и достигнет вершины дуба. 
Задача 4. Шесть одинаковых бочек вмещают 28 ведер воды. Сколько ведер воды вмещают 15 таких бочек?
Рассуждения.
     15 бочек можно представить как 6 бочек+6 бочек+3 бочки. 6 бочек вмещают 28 ведер воды, а в 15 бочках – 28+28+14=70 ведер воды.
Развивая творческие способности учеников, нельзя не обратить  их внимание на задачи, имеющие  не одно,  а несколько решений. 
Задача 1. Найти неизвестное число.
       ШТРАФ                              ФАРШ
       7239                                     ?
Решение 1. Исключили вторую букву в слове ШТРАФ и полученное слово прочитали  справа налево. Получили слово ФАРШ. Аналогично рассуждая , из числа 7239 исключили  первую и третью цифры и записали цифры полученного числа в обратном порядке. Получили число 92.
Ответ. 92
Решение 2. 2+0 = 2. Исключили вторую букву в слове ШТРАФ  и полученное слово  прочитали справа налево. Получили слово  ФАРШ. 1+3=4. Исключив из числа 7239 четвертую цифру и записав цифры получившегося числа в обратном порядке, получили число 3.
Ответ. 3
Решение 3. В слове ШТРАФ исключили вторую букву, начиная с  начала слова и ни одной , начиная  
с конца. Полученное слово прочитали справа налево. Получили слово ФАРШ . Аналогично во второй строке задания исключая первую цифру, начиная с начала числа 7239 , и третью цифру , начиная с его конца. Цифры первого числа записываем в обратном порядке.
Получили 93.
Ответ. 93
Задача 2. В равнобедренном треугольнике АВС,   А=28 градусов. Найдите все углы треугольника АВС.
Решение 1. 
     Пусть в треугольнике АВС АВ= ВС, тогда угол А – при основании равнобедренного треугольника  и  В =  А= 28 градусов. Т.к. А + В +  С = 180 градусов, то =180 градусов – 56 градусов = 124 градуса.
Ответ. 28 градусов, 28, 124 градуса.
Решение 2 
Пусть в треугольнике АВС , АВ =АС, тогда  А – угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника   В =  С = 0,5 (180 - А)= 0,5(180-28)= 0,5 х 152 = 76
Ответ 28,76,76
  Следует  использовать  любую возможность для того, чтобы продемонстрировать, что многие  задачи математики  имеют несколько способов решения, приводящих к одному  и тому же ответу. Целесообразно, рассмотрев несколько способов решения задачи, выбрать наиболее рациональный  . Но это  не  всегда возможно. Порой  разные способы тем и хороши, что они разные, а уровень сложности у них одинаков, разный лишь подход к поставленной проблеме. Поэтому «лучший» способ определяет уровень подготовки ученика, его  личные предпочтения и т.д. 
Задача 1 :
Из двух городов, расстояние между которыми 625 км, одновременно навстречу друг другу выехали два  автомобиля со скоростями 50 км/ч и 65 км/ч.  Каким будет расстояние между автомобилями через 5 часов?
Решение1
1)	50 х 5= 250 (км) проехал первый автомобиль за 5 ч
2)	65 х 5 =325 (км) проехал второй автомобиль за 5 ч.
3)	250 + 325 = 575 (км) проехали два автомобиля за 5 ч.
4)	625 – 575 = 50 (км) расстояние между автомобилями через 5 ч.
Решение 2
1)	50 +65 = 115 (км/ч) – скорость сближения
2)	115 х 5= 575 (км/ч)  проехали два автомобиля за 5 ч.
3)	625 – 575 = 50 (км) расстояние между автомобилями через 5 ч.
Ответ 50 км
   Разумеется, рассмотрев  на уроке математики в 4-5 классе, оба решения задачи, приходим к единому мнению – второй способ «лучше» , он более рациональный,   требует меньше записей , а это для детей младшего  школьного возраста немаловажно – они не  любят много писать и объяснять.
 Задача 2:
 В окружность вписан равносторонний треугольник АВС . На  дуге ВС дана произвольная точка М. Доказать , что МА=МВ+ МС
Решение 1.
 Интересующие нас отрезки МА , МВ и МС являются сторонами треугольников АМВ и ВМС , в которых  АМВ = 60 градусов и ВМС = 120 (рис. 1, а)  Применяем  к этим треугольникам  теорему   косинусов .
Обозначим АВ= а, АМ = х, МВ = у, МС =z.  Учитывая, что соs 60 = 0,5, соs120 = - соs 60 = - 0,5
Получим 

Вычтя из первого равенства второе, получим 
                            
     	(x-z)(x+7) – y(x+z)=0,
                                       ( x+z)(x-z-y) = 0
Т.к. x+z = 0, то x-y-z=0
                             X= y+z
                          Т.е. АМ = МВ+Мс
Решение 2.
Так как отрезки МА,МВ и МС являются хордами окружности, описанной около треугольника АВС, то их длины можно выразить через радиус R этой окружности. Обозначив  ВАМ= α, находим
 X = 2R sin (60+α)
Y= 2R sin α
Z = 2R sin(60 - α)
Тогда из sin (60 + α) = sinα+sin(60-α), следует, что х=y+z
Решение 3. 
Площадь четырехугольника АВМС выразим двумя способами.
 Пусть АNB=γ, где N-точка пересечения отрезков АМ и ВС  . Тогда площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольника АВМ АСМ. Нетрудно доказать, что АВМ = γ, АСМ = 180 – γ. Поэтому 0,5ах sinγ= 0,5ay sinγ + 0,5az sin (180 - γ), оттуда х = у+z
      Решение задачи каждым из рассмотренных способов  сводилось к применению формул,  содержащих тригонометрические функции  и выполнению несложных преобразований. 
   Рассмотрим теперь геометрическое решение задачи. 
Решение 4. 
Отложим на отрезке МА отрезок МD, равный отрезку МВ(рис 1 а) и докажем, что отрезок DA равен отрезку МС. Поскольку АМВ = 60 , то треугольник BDM является равносторонним . Треугольник АВС – тоже равносторонний. Повернем треугольник ВСМ вокруг точки В на 60 градусов так, чтобы  точка  С совпала с точкой А. Тогда точка М совпадает с точкой D и отрезок М совместится с отрезком DA. Итак, DA=MC. Поэтому  при любом выборе точки М на дуге ВС имеем МА= МВ+МС. Геометрическое  решение задачи  краткое, изящное и наглядное.
     При  внимательном рассмотрении и анализе можно получить обобщение задачи. Пусть точка М не принадлежит описанной  окружности (рис 1, б). Тогда  то же самое вспомогательное построение ( поворот точки М вокруг точки Вна 60 градусов) получим точку D,не принадлежащую прямой АМ . Действительно , если точка М лежит внутри угла ВАС, но вне описанной окружности , то АDM = ADB+60 градусов  меньше 180  градусов , так угол АDB=CMB меньше 120 градусов. Для полного доказательства следует рассмотреть все возможные случаи расположения точки М.
   Замечаем, что MD=MB,  DА = MC, тоесть  стороны треугольника ADM равны отрезкам МА,МВ и Мс. Т.о. приходим к такой теореме :
Если в плоскости равностороннего треугольника АВС дана  произвольная точка М, то отрезки МА, МВ и МС смогут быть сторонами некоторого треугольника или один из них равен  сумме двух  других (если точка М принадлежит описанной около треугольника АВС  окружности)
       Достоинства геометрического решения задачи очевидны. Если с помощью аналитических  методов было нетрудно проверить  истинность требуемого соотношения , то геометрический способ позволил получить рациональное решение, наглядно показать , обобщить  задачу и полностью раскрыть ситуацию.

       2.2 Из опыта работы учителей математики  по  развитию творческих способностей учеников .
Первые уроки в пятом классе наиболее  ответственны, дети  узнают требования учителя к ним и их работе. Дети «изучают» нас и отвечая на наши вопросы , стремятся угадать  какого типа ответ  мы хотим от них услышать ,  либо коротко сообщить ответ, либо  дать несколько способов решения, либо придумать самый оригинальный. Поэтому, если ставить перед собой цель  развития творческих способностей учащихся, необходимо создать соответствующий настрой в классе.  Для  этого нужны упражнения, направленные на раскрепощение их мысли, на  проявление инициативы , смелости при поиске решения.
         Казалось бы, простое  задание : «Начертить прямоугольник , ширина которого 1 клетка, длинна 10 клеток, и заштриховать   1/10 его часть.» Но сколько простора для творчества! 
										
    Стоит лишь  поддержать ребят , и учитель получит смелые, нестандартные , нешаблонные решения (рис 2)

                     а)                                               б)                                                                    в)
                                                             рис 2
 Интересно и такое задание : « Нарисуйте квадрат, сторона которого 2клетки . Заштрихуйте половину квадрата разными способами ».
Обычно оно выполняется с большим энтузиазмом , и если  попросить закончить  его дома,  причем если не ограничивать  сроки сдачи работы, то  ребята находят более десяти  различных способов .
                                                   Урок одной задачи .
 Дети лучше учатся решать математические задачи  на уроках, на которых они являются активными  участниками  поиска решения, испытывая  при этом  и радость открытия и горечь поражения, когда выбранный путь заводит в тупик.
       Урок такого типа как бы  завершает некоторый этап  обучения решению задач, потому его  лучше проводить , когда  учениками усвоены   необходимые  понятия и разобран ряд  частных приемов  решения  задач.  Внимание   на  уроке концентрируется на  анализе приемов ,   которыми решается задача. Поэтому, чтобы   не тратить время на знакомство с условием несложных задач, достаточно  рассмотреть решение только одной задачи,  интересной по  содержанию, богатой идеями, имеющей несколько способов решения.
                          Творческая активность учащихся,   на уроке целиком зависит от тех методическихприемов, который выберет учитель для анализа задачи. Они  подчинялись в основном двум  целям : 1) направить деятельность школьников на  исследования связей между  данными задачи; 2)   отрабатывать умения делать логические  выводы  из полученных результатов.
         Несколько первых минут урока   посвящается тому,    чтобы снять у  учащихся страх перед задачей,  настроить их  на исследовательскую работу , на поиск   красивого решения  .  Доброжелательное  обсуждение всех выдвинутых гипотез  помогает выявить закономерности между данными задачи. 
                   Вопросы,  направляющие   внимание учащихся на исследование какой либо части рисунка или выявления закономерностей между данными задачами , ставятся так, чтобы они могли быть использованы при решении других  задач.
      Опыт в решении задач как раз  и начинается с вопросов , позволяющих оценить сделанное , практически посмотреть найденное  решение , закрепить удачные приемы решения задачи,  анализа её условия, организации процесса поискаответа. После того как задача решена несколькими способами,учитель должен задать   вопросы : 
1)	Какими способами была решена задача?
2)	Какой из них наиболее  рациональный?
3)	 Какая закономерность между данными задачи  была основной в каждом способе?
4)	Нельзя ли рассмотреть  эту задачу  как частный случай более общей задачи?
5)	 Чем интересна данная задача? 
                   Эти вопросы помогут  учащимся познать, какими новыми приемами     обогатился их опыт решения задач.
Урок-«бенефис».
   Так  называются уроки – отчеты о самостоятельных домашних исследованиях.
      Двум ученикам на карточках дается одна и та же задача. Им  предлагается в течение двух недель представить учителю решение, а затем изложить  его на уроке.
Практика показала, что это хороший способ стимулирования  творческой деятельности учеников . Они знают ,что от них ждут красивого решения, а добиться его можно только в результате кропотливой исследовательской работы над условием задачи. Вот этот эмоциональный настрой и окрыляет ученика. Но красивое решение находится после того, как придумано несколько вариантов ,  и поэтому все они, чтобы одноклассники убедились в правильности выбора , обязательно предъявляются классу . Причем  так как ребятам известна  бенефисная задача и фамилии учеников, которым поручено  её решить , то они  разделяются на две сочувствующие группы . В такой ситуации «соперники»   работают более продуктивно , так как ощущают дух соревнования.  Он проявляется  и  в способе подачи найденного решения : приготовлении чертежей, составлении вопросов   для «конкурента», в стремлении  дать более обобщенный вариант задачи, изменив её условия так, чтобы  задача  стала более творческой.  Готовят вопросы и болельщики . Класс же оценивает , кто  дал более оригинальное , интересное решение , участвует  в рецензировании работы  своих товарищей.
    Одним  из требований   к «бенефисной» задаче является возможность увидеть несколько способов    её решения . Ведь цель таких уроков – стимулирование творческой  деятельности учащихся.  Но для того, чтобы знания могли применяться творчески у  ученика должна быть сформирована потребность к поиску многообразных вариантов решения проблем.
                     Чаще всего для « бенефиса» отбирается задача по курсу геометрии. Приведу примеры «бенефисных задач».
       Задача 1. 
 Начертите треугольник  АВС . Постройте точку D  так, что DA=DC и DBA=DBC.(Получилось ли у кого-нибудь так, что точка D лежит  в треугольнике ? ) . Из построенной точки D проведите перпендикуляр на прямую  и АС ( Получилось ли у кого-нибудь так, чтобы оба эти перпендикуляра оказались на сторонах треугольника?) 
Задача  поставлена таким образом, что ученику не обойтись без рассмотрения различных ситуаций.
Задача 2 .
  На высоте равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) ВВ₁ взята точка D. Доказать что :
1)	Треугольник ABD = треугольнику BDC
2)	Треугольник  ADB₁= треугольнику DB₁C         .
 Задача 3 .
  Стороны треугольника а,b,c  . Найдите радиус окружности,  имеющей свой центр на стороне с и касающейся двух других сторон a и  b .
                                          Математические сказки.
Всем известно , что дети свободнее, раскрепощеннее взрослых  . Они чувствуют уверенность      в своих силах и готовы выполнять любое задание . Нужно лишь внимание к результатам их труда.
    На уроках детям  неоднократно рассказывались сказки Феликса Кривина («Ноль», «Точка  на плоскости», «Простая дробь»).  Эти сказки настолько просты и понятны, что невольно  создают впечатление  , что  любой может придумать  свою сказку  . Вот  и предлагается  ребятам  сочинить   сказку, действующими  лицами которой были бы  некоторые  математические понятия. Задание было необычно для урока  математики    и  поэтому вызвало интерес . Попробовать написать сказку взялись  почти все ученики , но , конечно же,  в первый раз не у каждого получилось удачно . Все  с интересом ждали момента,  когда учитель будет читать их творческие работы . Обычно отбираются две-три с математическим содержанием, в которых есть законченность сюжетной линии и необычные персонажи. Иногда тут же демонстрируется          другой вариант, исправленный  и доработанный  учителем. Ребята видят  сам процесс  работы над сказкой.
        А теперь несколько сказок, придуманных пятиклассниками  .
                           Луч
- Я очень важен, потому, что бесконечен ! – хвастался Луч.
- Не важничай! – сказала Точка . – Ведь это я дала тебе начало , без меня  тебе не    обойтись . Да если я еще раз встану на твоем пути , то отрежу  от  тебя отрезок.
 - Чем же я хуже? – обиделась Прямая. – Каждый должен идти к цели по прямой, иначе его ждут беды! Да к тому же по мне можно двигаться в обе стороны, чего ты, Луч , не можешь себе позволить.
                            Смутился Луч и отправился дальше, признав правоту своих родственников. 
                            Две прямые.
Жили – были две прямые. Поспорили они, кто первый добежит до бесконечности. И побежали. Бегут-бегут , и никак добежать не могут. Вдруг столкнулись, пересеклись и побежали в разные стороны искры –лучи из точек пересечения.

                                         ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе разносторонней характеристики и индивидуальных особенностей развития творческих способностей школьников, сложившейся  в психологии , творчество рассматривается как познавательная деятельность , направленная   на усвоение учащимися  знаний,  выработанных человечеством в ходе общественного развития. Овладения знаниями рассматривают как активный процесс  углубления в сущность изучаемых явлений, в раскрытии  их свойств, связей и отношений. Творчество направлено на создание новых идей,  его результатом является открытие нового или усовершенствование решения той или иной  задачи. В ходе  творчества возникают новообразования , касающиеся мотивации, целей ,оценок, смыслов внутри самой познавательной деятельности. В качестве препятствий  развитию творческих способностей  может выступать излишняя критичность , внутренняя  цензура, желание найти ответ немедленно, ригидность (стремления пользоваться старыми знаниями), конформизм (боязнь выделиться и стать смешным для окружающих).
                   Развитие творческих способностей  учеников  на уроках математики осуществляется путем решения логических и нестандартных задач , задач, имеющих не одно , а несколько решений, решения одной задачи несколькими разными способами ,построения действующих  математических моделей, схем и т.д. Составление  сказок , проведение уроков в игровой форме обогащает  учебный процесс, делает его более содержательным и доступным, влияет на развитие ребенка как творческой личности. 
                    Список использованной литературы.
1.	Бантова М.А,  Бельтонова Г.В.  « Методика преподавания математики в начальных классах». М : Просвещение, 2002 г.
2.	«Воспроизводящая  и творческая деятельность учащихся в обучении» Под    И.Т. Огородникова -   М; 2002 г.
3.	Вертгеймер М «Продуктивное мышление» - М.  2003 г
4.	Гайштут А.Г «Тренинг  интеллекта школьника: Учись мыслить , думать, рассуждать» Каменец-Подольский ; «Абетка», 2004 г.
5.	 Готман Э.Г., Скопец  З.А : «Задача одна - решения разные»      К.: «Радянська школа», 1988 г . 
6.	Давыдов «Проблемы развивающего мышления. Опыт  теоретического экспериментального                                                                                                                           психологического исследования» . М . 2003 г
7.	Калмыкова В.А. « Продуктивное мышление как основа  обучаемости » М., 2002 г. 
8.	Крутецкий В.А. «Основы педагогической психологии»     М., 2001 г 
9.	Корниенко  Т.Л., Фиготина В.И. «Неделя математики в школе» - Харьков : Вести Издательство «Ранок» (серия «Библиотека творческого учителя» )
10.	Матюшкин А.М. «Проблемные ситуации в мышлении и  обучении». М., 2003г.
11.	Пойа Д. «Математическое открытие»     М., 2003 г.
12.	Пономарев Я.А. «Психология творческого мышления» М., 2002 г.
                        13.Окунев А.А «Спасибо за урок, дети!»: О развитии творческих способностей учащихся.                       Книга для учителя. Из опыта работы – М. Просвещение. 1988 г.